Printer-friendly version

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany smile.



Browse the glossary using this index

Special | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | ALL

F

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, gdzie c\neq0 i ad-bc\neq0.
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór D_f=R-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace.
Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór D_f=R-\lbrace\frac{a}{c}\rbrace.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste o równaniach: x=-\frac{d}{c} oraz y=\frac{a}{c}.

Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku W(p, q), gdzie p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac (warto pamiętać również, że q=f(p)).
Osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu x=-\frac{b}{2a}.
Gdy a>0, to ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Gdy a<0, to ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Funkcja kwadratowa:

  1. ma dwa pierwiastki (miejsca zerowe) \iff\ \Delta>0
    wtedy x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  2. ma jeden pierwiastek (dwukrotny) \iff\ \Delta=0
    wtedy x_1=x_2=-\frac{b}{2a}, (ozn. często x_0=-\frac{b}{2a})
  3. nie ma pierwiastków (w zbiorze liczb rzeczywistych) \iff\ \Delta<0.

Postacie funkcji kwadratowej (wzajemnie równoważne):

  1. postać ogólna:
    f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}
  2. postać kanoniczna:
    f(x)=a(x-p)^2+q gdzie \ a\neq{0},\ p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac
  3. postać iloczynowa:
    f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), gdzie x_1,\ x_2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
    gdy \Delta=0 wzór powyższy przyjmuje postać:
    f(x)=a(x-x_0)^2
    Gdy \Delta<0, to funkcja kwadratowa określona na zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci f(x)=ax+b.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przecinająca oś OY w punkcie (0;b) i nachylona do osi OX pod kątem \alpha takim, że tg\alpha=a.
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest:

  • rosnąca \iff{a>0}
  • malejąca \iff{a<0}
  • stała \iff{a=0}

Funkcja nieparzysta

Funkcja y=f(x),jest nieparzysta \iff \bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=-f(x)]
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Funkcja parzysta

Funkcja y=f(x),jest parzysta \iff \bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=f(x)]
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

Funkcja różnowartościowa

Funkcja y=f(x) jest różnowartośćiowa \iff różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tzn.:
\bigwedge\limits_{x_1,x_2\in {D_f}} [{x_1}\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}].
Funkcja różnowartościowa każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym


Obrazek sin\alpha=\frac{a}{c}

cos\alpha=\frac{b}{c}

tg\alpha=\frac{a}{b}

ctg\alpha=\frac{b}{a}


Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.