Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update ascending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Cyfry

Cyfry - symbole służące do zapisywania liczb.
Cyfry arabskie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - używane w dziesiątkowym systemie liczbowym (do Europy przenieśli je w X - XIII w. Arabowie, a wcześniej używali ich Hindusi).
Cyfry rzymskie: I, V, X, L, C, D, M - pochodzenia latyno-etruskiego (VI - V w. p.n.e.).

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q zwaną ilorazem tego ciągu.

Liczby złożone

Liczby złożone - liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n.

Twierdzenie:
Każdą liczbę złożoną da się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, przy czym rozkład na czynniki pierwsze jest jednoznaczny (tzn. dwa takie rozkłady mogą różnić się jedynie porządkiem czynników).

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze - liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są liczby: 1 oraz p. Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... .
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych (udowodnił to w IV w.p.n.e matematyk grecki Euklides).

Jednokładność

Definicja:
Jednokładnością o środku $O$ i skali $k\neq0$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $P$ płaszczyzny (przestrzeni), przyporządkowuje taki punkt $P'$ , taki że $\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$ .

$J_O^{k\neq0}(P)=P'\iff\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$

Własności jednokładności:

Obrazem wektora (odcinka) w jednokładności jest wektor (odcinek) do niego równoległy.
Obrazem prostej w jednokładności jest prosta do niej równoległa.
Obrazem kąta w jednokładności jest kąt do niego przystający.
Jednokładność o skali $k\neq0$ zmienia odległość w stosunku $|k|$ .
Dwie figury są jednokładne, jeśli istnieje jednokładność przekształcająca jedną z tych figur na drugą.
Figury jednokładne w skali $k$ , są figurami podobnymi w skali $|k|$ .
Stosunek pól figur jednokładnych jest równy kwadratowi skali jednokładności .

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ nazywamy jego miejsce zerowe, czyli każdą liczbę $a$ , taką że $W(a)=0$ .

Pierwiastek k - krotny wielomianu

Liczbę $a$ nazywamy $k-krotnym \ \ pierwiastkiem \ \ wielomianu \ W(x),\ k\in{N_+}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)^k$ , ale nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$ . Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

Symbol Newtona

Definicja:

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , gdzie $\ n,k\in{N}$ i $\ n\geq{k}$

Własności:

Dla dowolnych liczb $n,\ k\in{N}$ i $n\geq{k}$ zachodzi:

${n\choose 0}={n\choose n}=1$
${n\choose 1}={n\choose {n-1}}=n$
${n\choose k}={n\choose {n-k}}$
${n\choose k}+{n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}$ gdy $n>k$

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - kwadrat sumy
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ - kwadrat różnicy
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ - sześcian sumy
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ - sześcian różnicy

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ - różnica kwadratów
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - różnica sześcianów
uogólnienie
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^{n-k}b^k+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$
w szczególności
$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{n-k}+...+a+1)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - suma sześcianów
uogólnienie dla wykładników nieparzystych
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n})$

Wielościan foremny

Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy wierzchołek należy do takiej samej liczby ścian.

Jest pięć rodzajów czworościanów foremnych:

czworościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
sześcian (każda ściana jest kwadratem)
ośmiościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
dwunastościan foremny (każda ściana jest pięciokątem foremnym)
dwudziestościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)

Równoległościan

Równoległościanem nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok.

Ostrosłup prosty

Definicja:
Ostrosłupem prostym nazywamy ostrosłup spełniający dwa warunki:

na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg,
spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie.

Twierdzenie 1:
Ostrosłup jest prosty $\iff$ wszystkie jego krawędzie boczne mają jednakową długość.

Twierdzenie 2:
Ostrosłup jest prosty $\iff$ wszystkie jego krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

$Obrazek$

$sin\alpha=\frac{a}{c}$

$cos\alpha=\frac{b}{c}$

$tg\alpha=\frac{a}{b}$

$ctg\alpha=\frac{b}{a}$

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Keyword(s):

Środek ciężkości

...

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli bok przeciwległy temu kątowi na dwa odcinki tak, że stosunek ich długości jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków trójkąta, przyległych do tego kąta.

Funkcja różnowartościowa

Funkcja $y=f(x)$ jest różnowartośćiowa $\iff$ różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tzn.:

$\bigwedge\limits_{x_1,x_2\in {D_f}} [{x_1}\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}]$ .

Funkcja różnowartościowa każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz.

Keyword(s):

Okresowość funkcji

...

Funkcja parzysta

Funkcja $y=f(x)$ ,jest parzysta $\iff$ $\bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=f(x)]$
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

Funkcja nieparzysta

Funkcja $y=f(x)$ ,jest nieparzysta $\iff$ $\bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=-f(x)]$

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Monotoniczność funkcji

...

Zbiór wartości funkcji

...

Wzór Herona

...

Deltoid

Deltoid - czworokąt wypukły, którego oś symetrii zawiera jedną z przekątnych. Deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równych. Kąty deltoidu w wierzchołkach nie leżących na jego osi symetrii są przystające. Przekątne są prostopadłe, a ich punkt przecięcia jest środkiem przekątnej łączącej wierzchołki przystających kątów.

Suma n początkowych wyrazów ciągu

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ wyraża się wzorem:

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n$

Jeżeli $S_n$ jest sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu, to wzór ogólny tego ciągu ma postać:

$\begin{cases} a_1=S_1\\a_n=S_n-S_{n-1}$$, gdy $$\ n>1\end{cases}$

Keyword(s):

Pochodna funkcji

...

Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby $r$ zwanej różnicą tego ciągu.

Schemat Bernoulliego

...

Aksjomat

Aksjomat - twierdzenie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.

Asymptota

Asymptota funkcji - prosta o tej własności, że gdy punkt wykresu funkcji oddala się nieograniczenie po wykresie, to jego odległość od tej prostej dąży do zera.

Permutacje

Definicja
Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego $(n\in{N_+})$ nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Twierdzenie
Liczba $P_n$ permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego $(n\in{N_+})$ wyraża się wzorem:

$P_n=n!$

Wariacje z powtórzeniami

...

Wariacje bez powtórzeń

....

Prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa
Jeżeli przestrzeń $\Omega$ jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne tej przestrzeni są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$ z tej przestrzeni (czyli $A\subset\Omega$ ) wyraża się wzorem

$P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}$ , gdzie

$\overline{\overline{A}}$ - oznacza liczbę elementów zbioru $A$ , czyli tzw. moc zbioru $A$ .

$\overline{\overline{\Omega}}$ - oznacza liczbę elementów zbioru $\Omega$ , czyli tzw. moc zbioru $\Omega$

Definicja aksjomatyczna
Własności prawdopodobieństwa
wkrótce...

Keyword(s):

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c\neq0$ i $ad-bc\neq0$ .
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór $D_f=R-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace$ .
Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór $D_f=R-\lbrace\frac{a}{c}\rbrace$ .
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste o równaniach: $x=-\frac{d}{c}$ oraz $y=\frac{a}{c}$ .

Wielomian

Wielomianem stopnia $n$ jednej zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy funkcję postaci:
$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ .
Liczby $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Wielomianem stopnia zerowego nazywamy funkcję stałą postaci: $W(x)=a$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stałą, przyjmującą dla każdego argumentu $x$ wartość zero. Wielomian zerowy zapisujemy $W(x)\equiv{0}$ .

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ nazywamy jego miejsce zerowe, czyli każdą liczbę $a$ , taką że $W(a)=0$ .

Twierdzenie
Wielomian jednej zmiennej stopnia $n$ posiada co najwyżej $n$ pierwiastków.

Twierdzenie Bezouta
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ $\iff$ wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ .

Definicja
Liczbę $a$ nazywamy $k- krotnym \ \ pierwiastkiem \ \ wielomianu\ W(x),\ k\in{N_+}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)^k$ , ale nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$ . Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie
Jeżeli liczby $x_1,x_2,x_3,...,n_n$ są pierwiastkami (niekoniecznie różnymi) wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ , to wielomian ten da się przedstawić w postaci iloczynowej:
$W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot...\cdot(x-x_n)$ .

Równanie hiperboli

Równanie hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych:
$xy=a,\ a\neq0$

Keyword(s):

Hiperbola

Równanie hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych:
$xy=a,\ a\neq0$

Koło

Nierówność opisująca koło o środku $S(a;b)$ i promieniu $r>0$ :

postać kanoniczna:
$(x-a)^2+(y-b)^2\leq{r^2}$

postać ogólna:
$x^2+y^2-2ax-2by+c\leq0$ , gdzie $\ r=\sqrt{a^2+b^2-c}$ i $\ a^2+b^2-c>0$

Keyword(s):

Graficzne rozwiązywanie równań, nierówności, układów

Graficzne rozwiązywanie równań należy do tzw. metod przybliżonych, ponieważ metoda ta pozwala odczytać liczbę rozwiązań równania (układu), natomiast często nie da się odczytać ile to rozwiązanie dokładnie wynosi.

Graficzne rozwiązywanie równania postaci:
$f(x)=g(x)$
w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji $y=f(x)$ oraz $\ y=g(x)$ , następnie odczytujemy argumenty dla których funkcje f i g przyjmują tę samą wartość (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów), następnie wykonujemy sprawdzenie, czy odczytane liczby spełniają dane równanie.
Graficzne rozwiązywanie nierówności postaci:
$f(x)<g(x)$
w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji $y=f(x)$ oraz $\ y=g(x)$ , następnie odczytujemy argumenty dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów, następnie podajemy te argumenty dla których wykres funkcji f leży poniżej wykresu funkcji g), przed podaniem odpowiedzi wykonujemy sprawdzenie liczb spełniających równanie $f(x)=g(x)$ .
Graficzne rozwiązywanie układów równań (nierówności) postaci:
$\begin{cases}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{cases}$
szkicujemy wykres każdego z równań układu, szukamy punktów wspólnych, odczytujemy ich współrzędne, wykonujemy sprawdzenie.

Równanie wymierne

j.t. równanie postaci:
$\frac{W(x)}{P(x)}$ , gdzie $\ W(x)$ i $\ P(x)$ są wielomianami i $P(x)\neq0$

Równanie dwukwadratowe

j.t. równanie postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Równanie dwukwadratowe można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając

$x^2=t$ .

Po podstawieniu tym otrzymuje się równanie

$at^2+bt+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywany argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.

Izometria

Izometria - przekształcenie zachowujące odległość, tzn. takie, że odległość między punktami jest równa odległości między ich obrazami otrzymanymi w tym przekształceniu.

Przykłady przekształceń izometrycznych (izometrii):

translacja (przesunięcie równoległe o wektor)
symetria środkowa (względem punktu)
symetria osiowa (względem prostej)
symetria płaszczyznowa (względem płaszczyzny)

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe (r. drugiego stopnia) j.t. równanie postaci:
$ax^2+bx+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$

Równanie kwadratowe:

ma dwa rozwiązania (pierwiastki) $\iff\ \Delta>0$
wtedy $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
ma jedno rozwiązanie (pierwiastek) $\iff\ \Delta=0$
wtedy $x=-\frac{b}{2a}$
nie ma rozwiązań (w zbiorze liczb rzeczywistych) $\iff\ \Delta<0$ .

Rozkład wielomianu na czynniki

Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie
Jeżeli liczby $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ są pierwiastkami (niekoniecznie różnymi) wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ , to wielomian ten da się przedstawić w postaci iloczynowej:
$W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot...\cdot(x-x_n)$ .

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki (najczęściej stosowane):

wyłączanie czynnika przed nawias
grupowanie wyrazów
stosowanie wzorów skróconego mnożenia
wykorzystanie tw. Bezoute'a, gdy znamy jeden z pierwiastków wielomianu

Keyword(s):

Silnia

Definicja
$\begin{cases} {0!}=1\\(n+1)!=n!(n+1), \ n\in{N_+}\end{cases}$

Z definicji tej wynika, że:
$1!=1$
$2!=1\cdot2$
$3!=1\cdot2\cdot3$
$\vdots$
$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot{n}, \ n\in{N_+}$

Ciąg

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich $N_+$ , lub skończony podzbiór początkowych liczb naturalnych dodatnich $\lbrace{1,2,3,...,m\rbrace}$ .
Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.
Ciąg liczbowy to ciąg, którego wyrazy są liczbami rzeczywistymi.

Gdy dziedziną ciągu jest $N_+$ , to ciąg nazywamy nieskończonym,
Gdy dziedziną ciągu jest $\lbrace{1,2,3,...,m\rbrace}$ , to ciąg nazywamy skończonym (m-wyrazowym).

Sposoby opisywania ciągu:

opis słowny
np.:
ciąg kolejnych liczb naturalnych nieparzystych
wypisanie kolejnych wyrazów ciągu
np.:
(1,3,5,7,...) - ciąg nieskończony
(5,10,15,20) - ciąg 4 - wyrazowy
za pomocą wzoru ogólnego
np.:
${a_n=3}\cdot{2^n}-7, \ n\in{N_+}$
za pomocą wzoru rekurencyjnego (indukcyjnego)
np.:
$\begin{cases} a_1=3\\a_{n+1}=2a_n-5n+1, \ n\in{N_+}\end{cases}$

Równanie liniowe

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą $x$ nazywamy równanie postaci

$ax+b=0$ , gdzie $a,b\in{R}$ .

Jeżeli $a\neq0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem stopnia pierwszego (lub równaniem oznaczonym) i równanie to ma wtedy jedno rozwiązanie postaci $x=-\frac{b}{a}$ .
Jeżeli $a=0$ i $b=0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem tożsamościowym (lub równaniem nieoznaczonym) i równanie to ma wtedy nieskończenie rozwiązań, rozwiązaniem takiego równania jast każda liczba rzeczywista.
Jeżeli $a=0$ i $b\neq0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem sprzecznym i równanie to nie posiada rozwiązań.

Okrąg

Definicja:
Okręgiem o środku $S$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od środka jest równa promieniowi, czyli zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny spełniających warunek $|PS|=r$ .

Równanie okręgu o środku $S(a;b)$ i promieniu $\ r>0$ :

postać kanoniczna:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

postać ogólna:
$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ , gdzie $\ r=\sqrt{a^2+b^2-c}$ i $\ a^2+b^2-c>0$

Keyword(s):

Kombinacje

Definicja
Kombinacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie $k,n\in{N_+}$ i $k\leqslant{n}$ nazywamy każdy k-elementowy podzbiór utworzony z różnych elementów danego zbioru.

Twierdzenie
Liczba $C^k_n$ k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego $(n\in{N_+})$ wyraża się wzorem:

$C^k_n={n\choose k}$

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja
Zbiorem zdarzeń elementarnych ( lub przestrzenią zdarzeń elementarnych) nazywamy zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego i oznaczamy $\Omega$ .
W matematyce szkolnej rozważamy tylko skończone zbiory zdarzeń elementarnych.

$\overline{\overline{\Omega}}$ - oznacza liczbę elementów zbioru $\Omega$ , czyli tzw. moc zbioru $\Omega$ .

Definicja
Zdarzeniem ( zdarzeniem losowym) nazywamy każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.
Zdarzenia oznaczamy najczęściej dużymi literami alfabetu: A, B, C, ...

$\overline{\overline{A}}$ - oznacza liczbę elementów zbioru $A$ , czyli tzw. moc zbioru $A$ .

Keyword(s):

Błąd bezwzględny

Błędem bezwzględnym przybliżenia nazywamy wartość bezwzględną różnicy między wartością rzeczywistą (dokładną), a wartością przybliżoną (szacunkową), czyli jeśli:
r - wartość rzeczywista
p - wartość przybliżona, to
|r-p| - błąd bezwzględny przybliżenia

Zbiór liczb naturalnych

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $N=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}$

Keyword(s):

Największy wspólny dzielnik

Największym wspólnym dzielnikiem liczb a, b - w skrócie NWD(a,b) - nazywamy największą z liczb naturalnych, przez którą dzieli się bez reszty każda z liczb a, b.

Keyword(s):

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a i b (a, b - liczby naturalne dodatnie) nazywamy najmniejszą liczbę naturalną różną od 0, która dzieli się bez reszty przez a i przez b.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a i b i oznaczamy NWW(a,b).

Keyword(s):

Liczby względnie pierwsze

Liczby naturalne są względnie pierwsze $\iff$ ich jedynym wspólnym dzielnikiem naturalnym jest liczba 1, czyli:
Jeżeli a, b $\in{N_+}$ , to a, b - liczby względnie pierwsze $\iff$ NWD(a,b) = 1.

Długość odcinka

Długość odcinka o końcach w punktach $A=(x_A;y_A)$ , $B=(x_B;y_B)$ (odległość między punktami A, B) wyraża się wzorem: $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Keyword(s):

Współrzędne wektora

Gdy $A=(x_A;y_B),\ B=(x_B;y_B)$ to $\vec{AB}=[x_B-x_A;y_B-y_A]$
A - początek wektora
B - koniec wektora,
liczby $x_B-x_A,\ y_B-y_A$ nazywamy odpowiednio pierwszą i drugą współrzędną wektora.

Keyword(s):

Długość wektora

Długość wektora o końcach w punktach $A=(x_A;y_A)$ , $B=(x_B;y_B)$ wyraża się wzorem: $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Jeżeli $\vec{u}=[u_1;u_2]$ , to $|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$

Keyword(s):

Równanie linii prostej

postać ogólna (opisuje każdą prostą w układzie współrzędnych):
${Ax+By+C=0}$ , gdzie $A^2+B^2>0$
postać kierunkowa (nie opisuje prostych równoległych do osi OY):
$f(x)=ax+b$ , gdzie $a=tg\alpha$ , $\alpha$ - kąt nachylenia prostej do osi OX

Logarytm

Logarytmem o podstawie $a$ - większej od zera i różnej od 1, z dodatniej liczby $b$ nazywamy taką liczbę $c$ , że $a^c=b$

$log_ab=c\iff ({a^c=b}\ \wedge\ {a>0}\ \wedge\ {a\neq1}\ \wedge\ {b>0})$

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $P(x_0;y_0)$ od prostej k o równaniu ${Ax+By+C=0}$ , gdzie $A^2+B^2>0$ wyraża się wzorem: $d(P;k)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Równanie wielomianowe

Równanie n - tego stopnia z niewiadomą x (tzw. równanie wielomianowe) j.t. równanie postaci:
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0$ , gdzie $\ a\neq0$

Aby rozwiązać równanie wielomianowe $W(x)=0$ , wystarczy rozłożyć wielomian $W(x)$ na czynniki liniowe lub czynniki stopnia drugiego, a następnie każdy z czynników przyrównać do zera.

Zobacz:
Rozkład wielomianu na czynniki

Keyword(s):

Błąd względny

Błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę równą $\frac{|r-p|}{|r|}$ , gdzie:
r - wartość rzeczywista
p - wartość przybliżona.

Błąd procentowy, to błąd względny, wyrażony w procentach, czyli $\frac{|r-p|}{|r|}\cdot100\%$ .

Twierdzenie cosinusów

Kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

$a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2accos\beta$
$c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma$

gdzie:
$a,\ b,\ c$ - długości boków trójkąta
$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków $a,\ b,\ c$

Twierdzenie sinusów

Stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku, jest w trójkącie wielkością stałą, równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie

${\frac{a}{sin\alpha}}={\frac{b}{sin\beta}}={\frac{c}{sin\gamma}}=2R$ ,

gdzie:
$a,\ b,\ c$ - długości boków trójkąta
$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków $a,\ b,\ c$
$R$ - promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci $f(x)=ax^2+bx+c$ gdzie $\ a\neq{0}$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku $W(p, q)$ , gdzie $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , $\Delta=b^2-4ac$ (warto pamiętać również, że $q=f(p)$ ).
Osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu $x=-\frac{b}{2a}$ .
Gdy $a>0$ , to ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Gdy $a<0$ , to ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Funkcja kwadratowa:

ma dwa pierwiastki (miejsca zerowe) $\iff\ \Delta>0$
wtedy $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
ma jeden pierwiastek (dwukrotny) $\iff\ \Delta=0$
wtedy $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ , (ozn. często $x_0=-\frac{b}{2a}$ )
nie ma pierwiastków (w zbiorze liczb rzeczywistych) $\iff\ \Delta<0$ .

Postacie funkcji kwadratowej (wzajemnie równoważne):

postać ogólna:
$f(x)=ax^2+bx+c$ gdzie $\ a\neq{0}$
postać kanoniczna:
$f(x)=a(x-p)^2+q$ gdzie $\ a\neq{0},\ p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , $\Delta=b^2-4ac$
postać iloczynowa:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , gdzie $x_1,\ x_2$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
gdy $\Delta=0$ wzór powyższy przyjmuje postać:
$f(x)=a(x-x_0)^2$
Gdy $\Delta<0$ , to funkcja kwadratowa określona na zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Keyword(s):

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci $f(x)=ax+b$ .
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przecinająca oś OY w punkcie $(0;b)$ i nachylona do osi OX pod kątem $\alpha$ takim, że $tg\alpha=a$ .
Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest:

rosnąca $\iff{a>0}$
malejąca $\iff{a<0}$
stała $\iff{a=0}$

Keyword(s):

Page: 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Platforma edukacyjna I LO w Jaśle

Cyfry

Ciąg geometryczny

Liczby złożone

Liczby pierwsze

Jednokładność

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastek k - krotny wielomianu

Symbol Newtona

Wzory skróconego mnożenia

Wielościan foremny

Równoległościan

Ostrosłup prosty

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Środek ciężkości

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Funkcja różnowartościowa

Okresowość funkcji

Funkcja parzysta

Funkcja nieparzysta

Monotoniczność funkcji

Zbiór wartości funkcji

Wzór Herona

Deltoid

Suma n początkowych wyrazów ciągu

Pochodna funkcji

Ciąg arytmetyczny

Schemat Bernoulliego

Aksjomat

Asymptota

Permutacje

Wariacje z powtórzeniami

Wariacje bez powtórzeń

Prawdopodobieństwo

Funkcja homograficzna

Wielomian

Równanie hiperboli

Hiperbola

Koło

Graficzne rozwiązywanie równań, nierówności, układów

Równanie wymierne

Równanie dwukwadratowe

Miejsce zerowe

Izometria

Równanie kwadratowe

Rozkład wielomianu na czynniki

Silnia

Ciąg

Równanie liniowe

Okrąg

Kombinacje

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Błąd bezwzględny

Zbiór liczb naturalnych

Największy wspólny dzielnik

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Liczby względnie pierwsze

Długość odcinka

Współrzędne wektora

Długość wektora

Równanie linii prostej

Logarytm

Odległość punktu od prostej

Równanie wielomianowe

Błąd względny

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie sinusów

Funkcja kwadratowa

Funkcja liniowa