Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update ascending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Cyfry

Cyfry - symbole służące do zapisywania liczb.
Cyfry arabskie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - używane w dziesiątkowym systemie liczbowym (do Europy przenieśli je w X - XIII w. Arabowie, a wcześniej używali ich Hindusi).
Cyfry rzymskie: I, V, X, L, C, D, M - pochodzenia latyno-etruskiego (VI - V w. p.n.e.).

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q zwaną ilorazem tego ciągu.

Liczby złożone

Liczby złożone - liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n.

Twierdzenie:
Każdą liczbę złożoną da się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, przy czym rozkład na czynniki pierwsze jest jednoznaczny (tzn. dwa takie rozkłady mogą różnić się jedynie porządkiem czynników).

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze - liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są liczby: 1 oraz p. Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... .
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych (udowodnił to w IV w.p.n.e matematyk grecki Euklides).

Jednokładność

Definicja:
Jednokładnością o środku $O$ i skali $k\neq0$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $P$ płaszczyzny (przestrzeni), przyporządkowuje taki punkt $P'$ , taki że $\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$ .

$J_O^{k\neq0}(P)=P'\iff\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$

Własności jednokładności:

Obrazem wektora (odcinka) w jednokładności jest wektor (odcinek) do niego równoległy.
Obrazem prostej w jednokładności jest prosta do niej równoległa.
Obrazem kąta w jednokładności jest kąt do niego przystający.
Jednokładność o skali $k\neq0$ zmienia odległość w stosunku $|k|$ .
Dwie figury są jednokładne, jeśli istnieje jednokładność przekształcająca jedną z tych figur na drugą.
Figury jednokładne w skali $k$ , są figurami podobnymi w skali $|k|$ .
Stosunek pól figur jednokładnych jest równy kwadratowi skali jednokładności .

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ nazywamy jego miejsce zerowe, czyli każdą liczbę $a$ , taką że $W(a)=0$ .

Pierwiastek k - krotny wielomianu

Liczbę $a$ nazywamy $k-krotnym \ \ pierwiastkiem \ \ wielomianu \ W(x),\ k\in{N_+}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)^k$ , ale nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$ . Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

Symbol Newtona

Definicja:

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , gdzie $\ n,k\in{N}$ i $\ n\geq{k}$

Własności:

Dla dowolnych liczb $n,\ k\in{N}$ i $n\geq{k}$ zachodzi:

${n\choose 0}={n\choose n}=1$
${n\choose 1}={n\choose {n-1}}=n$
${n\choose k}={n\choose {n-k}}$
${n\choose k}+{n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}$ gdy $n>k$

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - kwadrat sumy
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ - kwadrat różnicy
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ - sześcian sumy
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ - sześcian różnicy

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ - różnica kwadratów
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - różnica sześcianów
uogólnienie
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^{n-k}b^k+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$
w szczególności
$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{n-k}+...+a+1)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - suma sześcianów
uogólnienie dla wykładników nieparzystych
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n})$

Wielościan foremny

Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy wierzchołek należy do takiej samej liczby ścian.

Jest pięć rodzajów czworościanów foremnych:

czworościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
sześcian (każda ściana jest kwadratem)
ośmiościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
dwunastościan foremny (każda ściana jest pięciokątem foremnym)
dwudziestościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)