Printer-friendly version

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany smile.




Currently sorted By last update descending Sort chronologically: By last update change to ascending | By creation date

Page:  1  2  3  4  5  6  7  (Next)
  ALL

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci f(x)=ax+b.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przecinająca oś OY w punkcie (0;b) i nachylona do osi OX pod kątem \alpha takim, że tg\alpha=a.
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest:

  • rosnąca \iff{a>0}
  • malejąca \iff{a<0}
  • stała \iff{a=0}

Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku W(p, q), gdzie p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac (warto pamiętać również, że q=f(p)).
Osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu x=-\frac{b}{2a}.
Gdy a>0, to ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Gdy a<0, to ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Funkcja kwadratowa:

  1. ma dwa pierwiastki (miejsca zerowe) \iff\ \Delta>0
    wtedy x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  2. ma jeden pierwiastek (dwukrotny) \iff\ \Delta=0
    wtedy x_1=x_2=-\frac{b}{2a}, (ozn. często x_0=-\frac{b}{2a})
  3. nie ma pierwiastków (w zbiorze liczb rzeczywistych) \iff\ \Delta<0.

Postacie funkcji kwadratowej (wzajemnie równoważne):

  1. postać ogólna:
    f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}
  2. postać kanoniczna:
    f(x)=a(x-p)^2+q gdzie \ a\neq{0},\ p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac
  3. postać iloczynowa:
    f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), gdzie x_1,\ x_2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
    gdy \Delta=0 wzór powyższy przyjmuje postać:
    f(x)=a(x-x_0)^2
    Gdy \Delta<0, to funkcja kwadratowa określona na zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Twierdzenie sinusów

Stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku, jest w trójkącie wielkością stałą, równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie

{\frac{a}{sin\alpha}}={\frac{b}{sin\beta}}={\frac{c}{sin\gamma}}=2R,
gdzie:
a,\ b,\ c - długości boków trójkąta
\alpha,\ \beta,\ \gamma - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków a,\ b,\ c
R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

 

Twierdzenie cosinusów

Kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha
b^2=a^2+c^2-2accos\beta
c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma

gdzie:
a,\ b,\ c - długości boków trójkąta
\alpha,\ \beta,\ \gamma - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków a,\ b,\ c

Błąd względny

Błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę równą \frac{|r-p|}{|r|}, gdzie:
r - wartość rzeczywista
p - wartość przybliżona.

Błąd procentowy, to błąd względny, wyrażony w procentach, czyli \frac{|r-p|}{|r|}\cdot100\%.

Równanie wielomianowe

Równanie n - tego stopnia z niewiadomą x (tzw. równanie wielomianowe) j.t. równanie postaci:
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0, gdzie \ a\neq0

Aby rozwiązać równanie wielomianowe W(x)=0, wystarczy rozłożyć wielomian W(x) na czynniki liniowe lub czynniki stopnia drugiego, a następnie każdy z czynników przyrównać do zera.

Zobacz:
Rozkład wielomianu na czynniki

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P(x_0;y_0) od prostej k o równaniu {Ax+By+C=0}, gdzie A^2+B^2>0 wyraża się wzorem: d(P;k)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Cyfry

Cyfry - symbole służące do zapisywania liczb.
Cyfry arabskie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - używane w dziesiątkowym systemie liczbowym (do Europy przenieśli je w X - XIII w. Arabowie, a wcześniej używali ich Hindusi).
Cyfry rzymskie: I, V, X, L, C, D, M - pochodzenia latyno-etruskiego (VI - V w. p.n.e.).

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q zwaną ilorazem tego ciągu.

Liczby złożone

Liczby złożone - liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n.

Twierdzenie:
Każdą liczbę złożoną da się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, przy czym rozkład na czynniki pierwsze jest jednoznaczny (tzn. dwa takie rozkłady mogą różnić się jedynie porządkiem czynników).

Page:  1  2  3  4  5  6  7  (Next)
  ALL