Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update descending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: (Previous) 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c\neq0$ i $ad-bc\neq0$ .
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór $D_f=R-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace$ .
Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór $D_f=R-\lbrace\frac{a}{c}\rbrace$ .
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste o równaniach: $x=-\frac{d}{c}$ oraz $y=\frac{a}{c}$ .

Wielomian

Wielomianem stopnia $n$ jednej zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy funkcję postaci:
$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ .
Liczby $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Wielomianem stopnia zerowego nazywamy funkcję stałą postaci: $W(x)=a$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stałą, przyjmującą dla każdego argumentu $x$ wartość zero. Wielomian zerowy zapisujemy $W(x)\equiv{0}$ .

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ nazywamy jego miejsce zerowe, czyli każdą liczbę $a$ , taką że $W(a)=0$ .

Twierdzenie
Wielomian jednej zmiennej stopnia $n$ posiada co najwyżej $n$ pierwiastków.

Twierdzenie Bezouta
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ $\iff$ wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ .

Definicja
Liczbę $a$ nazywamy $k- krotnym \ \ pierwiastkiem \ \ wielomianu\ W(x),\ k\in{N_+}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)^k$ , ale nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$ . Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie
Jeżeli liczby $x_1,x_2,x_3,...,n_n$ są pierwiastkami (niekoniecznie różnymi) wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ , to wielomian ten da się przedstawić w postaci iloczynowej:
$W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot...\cdot(x-x_n)$ .

Równanie hiperboli

Równanie hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych:
$xy=a,\ a\neq0$

Keyword(s):

Hiperbola

Równanie hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych:
$xy=a,\ a\neq0$

Koło

Nierówność opisująca koło o środku $S(a;b)$ i promieniu $r>0$ :

postać kanoniczna:
$(x-a)^2+(y-b)^2\leq{r^2}$

postać ogólna:
$x^2+y^2-2ax-2by+c\leq0$ , gdzie $\ r=\sqrt{a^2+b^2-c}$ i $\ a^2+b^2-c>0$

Keyword(s):

Graficzne rozwiązywanie równań, nierówności, układów

Graficzne rozwiązywanie równań należy do tzw. metod przybliżonych, ponieważ metoda ta pozwala odczytać liczbę rozwiązań równania (układu), natomiast często nie da się odczytać ile to rozwiązanie dokładnie wynosi.

Graficzne rozwiązywanie równania postaci:
$f(x)=g(x)$
w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji $y=f(x)$ oraz $\ y=g(x)$ , następnie odczytujemy argumenty dla których funkcje f i g przyjmują tę samą wartość (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów), następnie wykonujemy sprawdzenie, czy odczytane liczby spełniają dane równanie.
Graficzne rozwiązywanie nierówności postaci:
$f(x)<g(x)$
w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji $y=f(x)$ oraz $\ y=g(x)$ , następnie odczytujemy argumenty dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów, następnie podajemy te argumenty dla których wykres funkcji f leży poniżej wykresu funkcji g), przed podaniem odpowiedzi wykonujemy sprawdzenie liczb spełniających równanie $f(x)=g(x)$ .
Graficzne rozwiązywanie układów równań (nierówności) postaci:
$\begin{cases}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{cases}$
szkicujemy wykres każdego z równań układu, szukamy punktów wspólnych, odczytujemy ich współrzędne, wykonujemy sprawdzenie.

Równanie wymierne

j.t. równanie postaci:
$\frac{W(x)}{P(x)}$ , gdzie $\ W(x)$ i $\ P(x)$ są wielomianami i $P(x)\neq0$

Równanie dwukwadratowe

j.t. równanie postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Równanie dwukwadratowe można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając

$x^2=t$ .

Po podstawieniu tym otrzymuje się równanie

$at^2+bt+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywany argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.

Izometria

Izometria - przekształcenie zachowujące odległość, tzn. takie, że odległość między punktami jest równa odległości między ich obrazami otrzymanymi w tym przekształceniu.

Przykłady przekształceń izometrycznych (izometrii):

translacja (przesunięcie równoległe o wektor)
symetria środkowa (względem punktu)
symetria osiowa (względem prostej)
symetria płaszczyznowa (względem płaszczyzny)