Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update descending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: (Previous) 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze - liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są liczby: 1 oraz p. Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... .
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych (udowodnił to w IV w.p.n.e matematyk grecki Euklides).

Jednokładność

Definicja:
Jednokładnością o środku $O$ i skali $k\neq0$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $P$ płaszczyzny (przestrzeni), przyporządkowuje taki punkt $P'$ , taki że $\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$ .

$J_O^{k\neq0}(P)=P'\iff\vec{OP'}=k\cdot\vec{OP}$

Własności jednokładności:

Obrazem wektora (odcinka) w jednokładności jest wektor (odcinek) do niego równoległy.
Obrazem prostej w jednokładności jest prosta do niej równoległa.
Obrazem kąta w jednokładności jest kąt do niego przystający.
Jednokładność o skali $k\neq0$ zmienia odległość w stosunku $|k|$ .
Dwie figury są jednokładne, jeśli istnieje jednokładność przekształcająca jedną z tych figur na drugą.
Figury jednokładne w skali $k$ , są figurami podobnymi w skali $|k|$ .
Stosunek pól figur jednokładnych jest równy kwadratowi skali jednokładności .

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ nazywamy jego miejsce zerowe, czyli każdą liczbę $a$ , taką że $W(a)=0$ .

Pierwiastek k - krotny wielomianu

Liczbę $a$ nazywamy $k-krotnym \ \ pierwiastkiem \ \ wielomianu \ W(x),\ k\in{N_+}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)^k$ , ale nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$ . Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

Symbol Newtona

Definicja:

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , gdzie $\ n,k\in{N}$ i $\ n\geq{k}$

Własności:

Dla dowolnych liczb $n,\ k\in{N}$ i $n\geq{k}$ zachodzi:

${n\choose 0}={n\choose n}=1$
${n\choose 1}={n\choose {n-1}}=n$
${n\choose k}={n\choose {n-k}}$
${n\choose k}+{n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}$ gdy $n>k$

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - kwadrat sumy
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ - kwadrat różnicy
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ - sześcian sumy
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ - sześcian różnicy

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ - różnica kwadratów
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - różnica sześcianów
uogólnienie
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^{n-k}b^k+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$
w szczególności
$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{n-k}+...+a+1)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - suma sześcianów
uogólnienie dla wykładników nieparzystych
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n})$

Wielościan foremny

Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy wierzchołek należy do takiej samej liczby ścian.

Jest pięć rodzajów czworościanów foremnych:

czworościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
sześcian (każda ściana jest kwadratem)
ośmiościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)
dwunastościan foremny (każda ściana jest pięciokątem foremnym)
dwudziestościan foremny (każda ściana jest trójkątem równobocznym)

Równoległościan

Równoległościanem nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok.

Ostrosłup prosty

Definicja:
Ostrosłupem prostym nazywamy ostrosłup spełniający dwa warunki:

na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg,
spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie.

Twierdzenie 1:
Ostrosłup jest prosty $\iff$ wszystkie jego krawędzie boczne mają jednakową długość.

Twierdzenie 2:
Ostrosłup jest prosty $\iff$ wszystkie jego krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

$Obrazek$

$sin\alpha=\frac{a}{c}$

$cos\alpha=\frac{b}{c}$

$tg\alpha=\frac{a}{b}$

$ctg\alpha=\frac{b}{a}$

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Keyword(s):