Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update ascending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: (Previous) 1 2 3 4 5 6 7
ALL

Logarytm

Logarytmem o podstawie $a$ - większej od zera i różnej od 1, z dodatniej liczby $b$ nazywamy taką liczbę $c$ , że $a^c=b$

$log_ab=c\iff ({a^c=b}\ \wedge\ {a>0}\ \wedge\ {a\neq1}\ \wedge\ {b>0})$

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $P(x_0;y_0)$ od prostej k o równaniu ${Ax+By+C=0}$ , gdzie $A^2+B^2>0$ wyraża się wzorem: $d(P;k)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Równanie wielomianowe

Równanie n - tego stopnia z niewiadomą x (tzw. równanie wielomianowe) j.t. równanie postaci:
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0$ , gdzie $\ a\neq0$

Aby rozwiązać równanie wielomianowe $W(x)=0$ , wystarczy rozłożyć wielomian $W(x)$ na czynniki liniowe lub czynniki stopnia drugiego, a następnie każdy z czynników przyrównać do zera.

Zobacz:
Rozkład wielomianu na czynniki

Keyword(s):

Błąd względny

Błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę równą $\frac{|r-p|}{|r|}$ , gdzie:
r - wartość rzeczywista
p - wartość przybliżona.

Błąd procentowy, to błąd względny, wyrażony w procentach, czyli $\frac{|r-p|}{|r|}\cdot100\%$ .

Twierdzenie cosinusów

Kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

$a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2accos\beta$
$c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma$

gdzie:
$a,\ b,\ c$ - długości boków trójkąta
$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków $a,\ b,\ c$

Twierdzenie sinusów

Stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku, jest w trójkącie wielkością stałą, równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie

${\frac{a}{sin\alpha}}={\frac{b}{sin\beta}}={\frac{c}{sin\gamma}}=2R$ ,

gdzie:
$a,\ b,\ c$ - długości boków trójkąta
$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków $a,\ b,\ c$
$R$ - promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci $f(x)=ax^2+bx+c$ gdzie $\ a\neq{0}$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku $W(p, q)$ , gdzie $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , $\Delta=b^2-4ac$ (warto pamiętać również, że $q=f(p)$ ).
Osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu $x=-\frac{b}{2a}$ .
Gdy $a>0$ , to ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Gdy $a<0$ , to ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Funkcja kwadratowa:

ma dwa pierwiastki (miejsca zerowe) $\iff\ \Delta>0$
wtedy $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
ma jeden pierwiastek (dwukrotny) $\iff\ \Delta=0$
wtedy $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ , (ozn. często $x_0=-\frac{b}{2a}$ )
nie ma pierwiastków (w zbiorze liczb rzeczywistych) $\iff\ \Delta<0$ .

Postacie funkcji kwadratowej (wzajemnie równoważne):

postać ogólna:
$f(x)=ax^2+bx+c$ gdzie $\ a\neq{0}$
postać kanoniczna:
$f(x)=a(x-p)^2+q$ gdzie $\ a\neq{0},\ p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , $\Delta=b^2-4ac$
postać iloczynowa:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , gdzie $x_1,\ x_2$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
gdy $\Delta=0$ wzór powyższy przyjmuje postać:
$f(x)=a(x-x_0)^2$
Gdy $\Delta<0$ , to funkcja kwadratowa określona na zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Keyword(s):

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci $f(x)=ax+b$ .
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przecinająca oś OY w punkcie $(0;b)$ i nachylona do osi OX pod kątem $\alpha$ takim, że $tg\alpha=a$ .
Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest: