Szkolny słownik matematyczny

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany .

Currently sorted By last update ascending Sort chronologically: By last update | By creation date

Page: (Previous) 1 2 3 4 5 6 7 (Next)
ALL

Równanie dwukwadratowe

j.t. równanie postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Równanie dwukwadratowe można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając

$x^2=t$ .

Po podstawieniu tym otrzymuje się równanie

$at^2+bt+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$ .

Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywany argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.

Izometria

Izometria - przekształcenie zachowujące odległość, tzn. takie, że odległość między punktami jest równa odległości między ich obrazami otrzymanymi w tym przekształceniu.

Przykłady przekształceń izometrycznych (izometrii):

translacja (przesunięcie równoległe o wektor)
symetria środkowa (względem punktu)
symetria osiowa (względem prostej)
symetria płaszczyznowa (względem płaszczyzny)

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe (r. drugiego stopnia) j.t. równanie postaci:
$ax^2+bx+c=0$ , gdzie $\ a\neq0$

Równanie kwadratowe:

ma dwa rozwiązania (pierwiastki) $\iff\ \Delta>0$
wtedy $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
ma jedno rozwiązanie (pierwiastek) $\iff\ \Delta=0$
wtedy $x=-\frac{b}{2a}$
nie ma rozwiązań (w zbiorze liczb rzeczywistych) $\iff\ \Delta<0$ .

Rozkład wielomianu na czynniki

Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie
Jeżeli liczby $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ są pierwiastkami (niekoniecznie różnymi) wielomianu $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$ , gdzie $\ n\in{N_+}$ i $\ a_n\neq0$ , to wielomian ten da się przedstawić w postaci iloczynowej:
$W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot...\cdot(x-x_n)$ .

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki (najczęściej stosowane):

wyłączanie czynnika przed nawias
grupowanie wyrazów
stosowanie wzorów skróconego mnożenia
wykorzystanie tw. Bezoute'a, gdy znamy jeden z pierwiastków wielomianu

Keyword(s):

Silnia

Definicja
$\begin{cases} {0!}=1\\(n+1)!=n!(n+1), \ n\in{N_+}\end{cases}$

Z definicji tej wynika, że:
$1!=1$
$2!=1\cdot2$
$3!=1\cdot2\cdot3$
$\vdots$
$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot{n}, \ n\in{N_+}$

Ciąg

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich $N_+$ , lub skończony podzbiór początkowych liczb naturalnych dodatnich $\lbrace{1,2,3,...,m\rbrace}$ .
Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.
Ciąg liczbowy to ciąg, którego wyrazy są liczbami rzeczywistymi.

Gdy dziedziną ciągu jest $N_+$ , to ciąg nazywamy nieskończonym,
Gdy dziedziną ciągu jest $\lbrace{1,2,3,...,m\rbrace}$ , to ciąg nazywamy skończonym (m-wyrazowym).

Sposoby opisywania ciągu:

opis słowny
np.:
ciąg kolejnych liczb naturalnych nieparzystych
wypisanie kolejnych wyrazów ciągu
np.:
(1,3,5,7,...) - ciąg nieskończony
(5,10,15,20) - ciąg 4 - wyrazowy
za pomocą wzoru ogólnego
np.:
${a_n=3}\cdot{2^n}-7, \ n\in{N_+}$
za pomocą wzoru rekurencyjnego (indukcyjnego)
np.:
$\begin{cases} a_1=3\\a_{n+1}=2a_n-5n+1, \ n\in{N_+}\end{cases}$

Równanie liniowe

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą $x$ nazywamy równanie postaci

$ax+b=0$ , gdzie $a,b\in{R}$ .

Jeżeli $a\neq0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem stopnia pierwszego (lub równaniem oznaczonym) i równanie to ma wtedy jedno rozwiązanie postaci $x=-\frac{b}{a}$ .
Jeżeli $a=0$ i $b=0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem tożsamościowym (lub równaniem nieoznaczonym) i równanie to ma wtedy nieskończenie rozwiązań, rozwiązaniem takiego równania jast każda liczba rzeczywista.
Jeżeli $a=0$ i $b\neq0$ , to równanie liniowe nazywamy równaniem sprzecznym i równanie to nie posiada rozwiązań.

Okrąg

Definicja:
Okręgiem o środku $S$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od środka jest równa promieniowi, czyli zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny spełniających warunek $|PS|=r$ .

Równanie okręgu o środku $S(a;b)$ i promieniu $\ r>0$ :

postać kanoniczna:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

postać ogólna:
$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ , gdzie $\ r=\sqrt{a^2+b^2-c}$ i $\ a^2+b^2-c>0$