Printer-friendly version

Słownik zawiera pojęcia matematyczne występujące w programie szkoły ponadgimnazjalnej. Słownik jest w trakcie budowy, w miarę możliwości będzie uzupełniany smile.



Browse the glossary using this index

A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | ALL
Currently sorted First name ascending Sort by: Surname | First name change to descending

Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6  7  (Next)
  ALL

Picture of admin ...

admin ...

Długość wektora

Długość wektora o końcach w punktach A=(x_A;y_A), B=(x_B;y_B) wyraża się wzorem: |\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Jeżeli \vec{u}=[u_1;u_2] , to |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, gdzie c\neq0 i ad-bc\neq0.
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór D_f=R-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace.
Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór D_f=R-\lbrace\frac{a}{c}\rbrace.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste o równaniach: x=-\frac{d}{c} oraz y=\frac{a}{c}.

Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku W(p, q), gdzie p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac (warto pamiętać również, że q=f(p)).
Osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu x=-\frac{b}{2a}.
Gdy a>0, to ramiona paraboli są skierowane ku górze.
Gdy a<0, to ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Funkcja kwadratowa:

  1. ma dwa pierwiastki (miejsca zerowe) \iff\ \Delta>0
    wtedy x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  2. ma jeden pierwiastek (dwukrotny) \iff\ \Delta=0
    wtedy x_1=x_2=-\frac{b}{2a}, (ozn. często x_0=-\frac{b}{2a})
  3. nie ma pierwiastków (w zbiorze liczb rzeczywistych) \iff\ \Delta<0.

Postacie funkcji kwadratowej (wzajemnie równoważne):

  1. postać ogólna:
    f(x)=ax^2+bx+c gdzie \ a\neq{0}
  2. postać kanoniczna:
    f(x)=a(x-p)^2+q gdzie \ a\neq{0},\ p=-\frac{b}{2a}, q=-\frac{\Delta}{4a}, \Delta=b^2-4ac
  3. postać iloczynowa:
    f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), gdzie x_1,\ x_2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
    gdy \Delta=0 wzór powyższy przyjmuje postać:
    f(x)=a(x-x_0)^2
    Gdy \Delta<0, to funkcja kwadratowa określona na zbiorze liczb rzeczywistych nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci f(x)=ax+b.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przecinająca oś OY w punkcie (0;b) i nachylona do osi OX pod kątem \alpha takim, że tg\alpha=a.
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest:

  • rosnąca \iff{a>0}
  • malejąca \iff{a<0}
  • stała \iff{a=0}

Funkcja nieparzysta

Funkcja y=f(x),jest nieparzysta \iff \bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=-f(x)]
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Funkcja parzysta

Funkcja y=f(x),jest parzysta \iff \bigwedge\limits_{x\in {D_f}} [{-x\in{D_f}}\ \wedge\ f(-x)=f(x)]
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

Funkcja różnowartościowa

Funkcja y=f(x) jest różnowartośćiowa \iff różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tzn.:
\bigwedge\limits_{x_1,x_2\in {D_f}} [{x_1}\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}].
Funkcja różnowartościowa każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym


Obrazek sin\alpha=\frac{a}{c}

cos\alpha=\frac{b}{c}

tg\alpha=\frac{a}{b}

ctg\alpha=\frac{b}{a}


Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

Graficzne rozwiązywanie równań, nierówności, układów

Graficzne rozwiązywanie równań należy do tzw. metod przybliżonych, ponieważ metoda ta pozwala odczytać liczbę rozwiązań równania (układu), natomiast często nie da się odczytać ile to rozwiązanie dokładnie wynosi.
  1. Graficzne rozwiązywanie równania postaci:
    f(x)=g(x)
    w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji y=f(x) oraz \ y=g(x), następnie odczytujemy argumenty dla których funkcje f i g przyjmują tę samą wartość (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów), następnie wykonujemy sprawdzenie, czy odczytane liczby spełniają dane równanie.
  2. Graficzne rozwiązywanie nierówności postaci:
    f(x)<g(x)
    w prostokątnym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji y=f(x) oraz \ y=g(x), następnie odczytujemy argumenty dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g (czyli odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych obydwu wykresów, następnie podajemy te argumenty dla których wykres funkcji f leży poniżej wykresu funkcji g), przed podaniem odpowiedzi wykonujemy sprawdzenie liczb spełniających równanie f(x)=g(x).
  3. Graficzne rozwiązywanie układów równań (nierówności) postaci:
    \begin{cases}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{cases}
    szkicujemy wykres każdego z równań układu, szukamy punktów wspólnych, odczytujemy ich współrzędne, wykonujemy sprawdzenie.

Hiperbola

Równanie hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych:
xy=a,\ a\neq0

Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6  7  (Next)
  ALL